圏論における被覆と層：Pretopology から Johnstone の Coverage まで

証明 $J_{Cov}$ が (GT1), (GT2), (GT3) を満たすことを順に証明する。

(GT1) の証明： $U$ 上の極大 sieve $t_U$ が $J_{Cov}(U)$ に属することを示す。公理 (PT1) より、$\{id_U \colon U \to U\} \in Cov(U)$ である。$id_U$ が生成する sieve $S(\{id_U\})$ は $t_U$ 自身に他ならない。$t_U \subset t_U$ であるから、定義より $t_U \in J_{Cov}(U)$ である。

(GT2) の証明： $S \in J_{Cov}(U)$ とし、$h \colon V \to U$ を任意の射とする。$h^\ast S \in J_{Cov}(V)$ を示す。$S \in J_{Cov}(U)$ より、ある被覆族 $\{f_i \colon U_i \to U\}_{i \in I} \in Cov(U)$ が存在して、$S(\{f_i\}) \subset S$ となる。公理 (PT2) より、各 $f_i$ と $h$ のファイバー積をとり、射影 $p_i \colon U_i \times_U V \to V$ および $q_i \colon U_i \times_U V \to U_i$ を得ると、$h \circ p_i = f_i \circ q_i$ が成り立ち、かつ $\{p_i\}_{i \in I} \in Cov(V)$ である。 ここで $S(\{p_i\}) \subset h^\ast S$ を示す。任意の $p_i \circ g \in S(\{p_i\})$ （ただし $g \colon W \to U_i \times_U V$）に対して、 $$h \circ (p_i \circ g) = (h \circ p_i) \circ g = (f_i \circ q_i) \circ g = f_i \circ (q_i \circ g)$$ となる。$f_i \circ (q_i \circ g)$ は $S(\{f_i\})$ の元である。仮定 $S(\{f_i\}) \subset S$ より、$f_i \circ (q_i \circ g) \in S$ となる。したがって、$h \circ (p_i \circ g) \in S$ であり、引き戻し sieve の定義により $p_i \circ g \in h^\ast S$ である。 よって $S(\{p_i\}) \subset h^\ast S$ が示され、$h^\ast S \in J_{Cov}(V)$ である。

(GT3) の証明： $S \in J_{Cov}(U)$ とし、$R$ を $U$ 上の sieve とする。任意の $f \colon V \to U \in S$ について $f^\ast R \in J_{Cov}(V)$ であると仮定する。$R \in J_{Cov}(U)$ を示す。 $S \in J_{Cov}(U)$ より、ある $\{f_i \colon U_i \to U\}_{i \in I} \in Cov(U)$ が存在して、$S(\{f_i\}) \subset S$ となる。 各 $i \in I$ について、$f_i \in S(\{f_i\}) \subset S$ であるから、仮定より $f_i^\ast R \in J_{Cov}(U_i)$ である。 したがって $J_{Cov}$ の構成より、各 $i \in I$ に対して、ある $\{g_{ij} \colon U_{ij} \to U_i\}_{j \in J_i} \in Cov(U_i)$ が存在して、$S(\{g_{ij}\}_{j \in J_i}) \subset f_i^\ast R$ となる。 公理 (PT3) より、合成射の族 $\{f_i \circ g_{ij} \colon U_{ij} \to U\}_{i \in I, j \in J_i}$ は $Cov(U)$ に属する。 この被覆族が生成する sieve を考える。任意の $i \in I, j \in J_i$ について、$g_{ij} \in S(\{g_{ij}\}) \subset f_i^\ast R$ であるから、引き戻し sieve の定義により $f_i \circ g_{ij} \in R$ である。 $R$ は sieve であるから、$f_i \circ g_{ij}$ を経由するすべての射も $R$ に属する。すなわち $S(\{f_i \circ g_{ij}\}_{i \in I, j \in J_i}) \subset R$ である。 被覆族が生成する sieve が $R$ に含まれるため、構成の定義により $R \in J_{Cov}(U)$ である。証明終。

証明

(2) $\Rightarrow$ (1) の証明:
$F$ が $J_{Cov}$ に関する層であると仮定し、$F$ が $Cov$ に関する層であることを示す。 任意の被覆族 $\{f_i \colon U_i \to U\}_{i \in I} \in Cov(U)$ と、整合性条件を満たす切断の族 $\{s_i \in F(U_i)\}_{i \in I}$ が与えられたとする。 被覆族 $\{f_i\}$ が生成する sieve を $S = S(\{f_i\})$ とする。$J_{Cov}$ の構成より $S \in J_{Cov}(U)$ である。 $S$ 上の $F$ の整合的族を次のように構成する。$f \colon V \to U \in S$ に対して、$S$ の定義より $f = f_i \circ g$ となる $i \in I$ と $g \colon V \to U_i$ が存在する。このような表現を選び、$s_f = F(g)(s_i) \in F(V)$ と定義する。 まず、この $s_f$ が表現 $f = f_i \circ g = f_j \circ h$ の選び方によらないこと (well-defined) を示す。 $f = f_i \circ g = f_j \circ h$ とすると、$U_i \times_U U_j$ をファイバー積、射影を $p_i \colon U_i \times_U U_j \to U_i$ , $p_j \colon U_i \times_U U_j \to U_j$ とすれば、ファイバー積の普遍性により、一意な射 $k \colon V \to U_i \times_U U_j$ が存在して、$p_i \circ k = g$ かつ $p_j \circ k = h$ を満たす。 整合性条件より $F(p_i)(s_i) = F(p_j)(s_j)$ であるから、両辺に $F(k)$ を適用して $$F(k)(F(p_i)(s_i)) = F(k)(F(p_j)(s_j))$$ $$F(p_i \circ k)(s_i) = F(p_j \circ k)(s_j)$$ $$F(g)(s_i) = F(h)(s_j)$$ となり、well-defined であることが示された。

次に、この $\{s_f\}_{f \in S}$ が $S$ 上の整合的族であることを示す。任意の $f \colon V \to U \in S$ と $w \colon W \to V$ に対して、$s_f = F(g)(s_i)$ （ただし $f = f_i \circ g$）とすると、$f \circ w = f_i \circ (g \circ w)$ であるから、 $$s_{f \circ w} = F(g \circ w)(s_i) = F(w)(F(g)(s_i)) = F(w)(s_f)$$ となり、整合的族の条件を満たす。

$F$ は $J_{Cov}$ の層であるから、$S \in J_{Cov}(U)$ と整合的族 $\{s_f\}$ に対して、一意な $s \in F(U)$ が存在して、任意の $f \in S$ について $F(f)(s) = s_f$ となる。 特に $f_i \in S$ を選べば（$f_i = f_i \circ id_{U_i}$ なので）、$F(f_i)(s) = s_{f_i} = F(id_{U_i})(s_i) = s_i$ となる。 また、$s$ の一意性について。もし $s' \in F(U)$ も $F(f_i)(s') = s_i$ を満たすなら、任意の $f = f_i \circ g \in S$ に対して $F(f)(s') = F(g)(F(f_i)(s')) = F(g)(s_i) = s_f$ となるため、整合的族への制限が完全に一致し、$s = s'$ となる。 以上により、$F$ は $Cov$ の意味での層である。

(1) $\Rightarrow$ (2) の証明:
$F$ が $Cov$ に関する層であると仮定し、$F$ が $J_{Cov}$ に関する層であることを示す。 任意の $U \in \mathcal{C}$ 、$S \in J_{Cov}(U)$ 、および $S$ 上の整合的族 $\{s_f \in F(V)\}_{f \colon V \to U \in S}$ をとる。 $S \in J_{Cov}(U)$ の定義により、ある被覆族 $\{f_i \colon U_i \to U\}_{i \in I} \in Cov(U)$ が存在して、$S(\{f_i\}) \subset S$ となる。 特に各 $f_i$ は $S$ に属するため、$s_{f_i} \in F(U_i)$ が存在する。この族 $\{s_{f_i}\}_{i \in I}$ が $Cov$ に関する整合性条件を満たすことを示す。 任意の $i, j \in I$ に対して、ファイバー積 $U_i \times_U U_j$ と射影 $p_1 \colon U_i \times_U U_j \to U_i$ , $p_2 \colon U_i \times_U U_j \to U_j$ を考える。 $f_i \circ p_1 = f_j \circ p_2$ である。この射を $f \colon U_i \times_U U_j \to U$ と置く。$f_i, f_j \in S$ と $S$ が sieve であることから、$f \in S$ である。 $\{s_f\}$ が $S$ 上の整合的族であるから、 $$F(p_1)(s_{f_i}) = s_{f_i \circ p_1} = s_f$$ $$F(p_2)(s_{f_j}) = s_{f_j \circ p_2} = s_f$$ よって $F(p_1)(s_{f_i}) = F(p_2)(s_{f_j})$ となり、整合性条件を満たす。

$F$ は $Cov$ に関する層であるから、ある一意な $s \in F(U)$ が存在して、任意の $i \in I$ について $F(f_i)(s) = s_{f_i}$ となる。 この $s$ が元の sieve $S$ 上のすべての $h \colon W \to U \in S$ に対して $F(h)(s) = s_h$ を満たすことを示す。 $h \in S$ を固定する。公理 (PT2) により、$h$ による被覆族 $\{f_i\}$ の引き戻し $\{p_i \colon U_i \times_U W \to W\}_{i \in I}$ は $Cov(W)$ に属する。 ここで射影を $q_i \colon U_i \times_U W \to U_i$ とすると、$h \circ p_i = f_i \circ q_i$ である。 この射を $k_i \colon U_i \times_U W \to U$ と置く。$S$ が sieve であるから $k_i \in S$ である。 整合的族の性質と、$F(f_i)(s) = s_{f_i}$ より、 $$F(p_i)(F(h)(s)) = F(h \circ p_i)(s) = F(f_i \circ q_i)(s) = F(q_i)(F(f_i)(s)) = F(q_i)(s_{f_i})$$ 一方、整合的族の性質より $$F(q_i)(s_{f_i}) = s_{f_i \circ q_i} = s_{k_i} = s_{h \circ p_i} = F(p_i)(s_h)$$ よって、任意の $i \in I$ について $F(p_i)(F(h)(s)) = F(p_i)(s_h)$ が成り立つ。 さて、被覆族 $\{p_i\}_{i \in I} \in Cov(W)$ と、族 $\{s'_i = F(p_i)(s_h)\}_{i \in I}$ を考える。 これらは $W$ 上の単一の切断 $s_h$ を引き戻したものであるから、自明に整合性条件を満たす。 $F$ は $Cov$ の意味で層であるため、被覆族 $\{p_i\}$ に対する条件から、すべての $p_i$ での制限が一致するような $W$ 上の切断は一意である。 $F(h)(s)$ と $s_h$ はともにすべての $p_i$ で引き戻すと $F(p_i)(s_h)$ に等しくなるため、一意性により $F(h)(s) = s_h$ が成り立つ。

最後に $s$ の一意性について。$s' \in F(U)$ もすべての $h \in S$ について $F(h)(s') = s_h$ を満たすとする。特に $f_i \in S$ だから $F(f_i)(s') = s_{f_i}$ となる。$F$ が $Cov$ に関する層であることの $s$ の一意性により、$s = s'$ となる。 以上により、$F$ は $J_{Cov}$ の意味での層である。証明終。

証明 任意の $f \colon V \to U \in R$ をとる。仮定 $R \subset R'$ より $f \in R'$ である。したがって、引き戻し sieve の定義から $f^\ast R' = t_V$ となる。$J_{Cov}$ は (C1) を満たすため、$f^\ast R' \in J_{Cov}(V)$ である。これが任意の $f \in R$ で成り立つことと、$R \in J_{Cov}(U)$ であること、および $J_{Cov}$ が (C3) を満たすことから、$R' \in J_{Cov}(U)$ が結論づけられる。証明終。

証明 Grothendieck topology の公理 (GT1) 極大 sieve、(GT2) 安定性、(GT3) 推移性を満たすことを示す。

• (GT1) 極大 sieve： $J_{Cov}$ は定義より (C1) を満たすため、自明に $t_U \in J_{Cov}(U)$ である。
• (GT3) 推移性： $J_{Cov}$ は定義より (C3) を満たすため、これも自明に満たされる。
• (GT2) 安定性： $S \in J_{Cov}(U)$ と任意の射 $h \colon W \to U$ について、$h^\ast S \in J_{Cov}(W)$ となることを示す。そのために、新たな sieve の割り当て $\mathcal{K}'$ を次のように定義する。 $$\mathcal{K}'(U) = \{S \in J_{Cov}(U) \mid \text{任意の射 } h \colon V \to U \text{ について } h^\ast S \in J_{Cov}(V)\}$$ この $\mathcal{K}'$ が (C1), (C2), (C3) を満たすことを示す。
  • (C1) の証明： 任意の $h \colon V \to U$ について、$h^\ast t_U = t_V$ である。$J_{Cov}$ は (C1) を満たすため $t_V \in J_{Cov}(V)$ となり、$t_U \in \mathcal{K}'(U)$ である。
  • (C2) の証明： $\{f_i \colon U_i \to U\} \in Cov(U)$ とし、$S = S(\{f_i\})$ とする。任意の射 $h \colon V \to U$ をとる。coverage の公理により、ある被覆族 $\{h_j \colon V_j \to V\} \in Cov(V)$ が存在し、各 $j$ について $h \circ h_j = f_i \circ k$ となる $i$ と $k$ が存在する。これは $h \circ h_j \in S(\{f_i\})$ を意味し、引き戻し sieve の定義から $h_j \in h^\ast S$ となる。したがって、$S(\{h_j\}) \subset h^\ast S$ である。$J_{Cov}$ は (C2) を満たすため $S(\{h_j\}) \in J_{Cov}(V)$ であり、補題 3.4（上方閉包性）より $h^\ast S \in J_{Cov}(V)$ となる。よって $S \in \mathcal{K}'(U)$ である。
  • (C3) の証明： $S \in \mathcal{K}'(U)$ とし、$R$ を $U$ 上の sieve とする。任意の $f \in S$ について $f^\ast R \in \mathcal{K}'(\operatorname{dom}(f))$ であると仮定する。$R \in \mathcal{K}'(U)$、すなわち任意の $h \colon V \to U$ について $h^\ast R \in J_{Cov}(V)$ となることを示す。 $S \in \mathcal{K}'(U)$ であるから、$h^\ast S \in J_{Cov}(V)$ である。ここで任意の $k \colon X \to V \in h^\ast S$ をとる。定義より $h \circ k \in S$ である。仮定より $(h \circ k)^\ast R \in \mathcal{K}'(X)$ である。特に恒等射 $id_X$ を用いて引き戻すと、$id_X^\ast((h \circ k)^\ast R) \in J_{Cov}(X)$ となる。引き戻しの性質より $(h \circ k)^\ast R = k^\ast(h^\ast R)$ であるから、$k^\ast(h^\ast R) \in J_{Cov}(X)$ が任意の $k \in h^\ast S$ について成り立つ。 $h^\ast S \in J_{Cov}(V)$ に対して (C3) を適用することで、$h^\ast R \in J_{Cov}(V)$ が得られる。よって $R \in \mathcal{K}'(U)$ である。
  以上より $\mathcal{K}'$ は (C1), (C2), (C3) を満たす。$J_{Cov}$ の「最小性」（共通部分としての定義）から $J_{Cov}(U) \subset \mathcal{K}'(U)$ である。これはすなわち、任意の $S \in J_{Cov}(U)$ と任意の $h \colon V \to U$ について $h^\ast S \in J_{Cov}(V)$ となることを意味し、(GT2) が証明された。

証明 前層 $F$ に対して、$U$ 上の sieve の集まり $J_F(U)$ を「$S$ 上の任意の整合的族 (matching family) が一意な貼り合わせを持つような sieve $S$」の全体として定義する。すなわち、$S \in J_F(U)$ とは、任意の族 $\{x_f \in F(\operatorname{dom}(f))\}_{f \in S}$ が条件「$f \in S$ かつ $g \colon W \to \operatorname{dom}(f)$ ならば $F(g)(x_f) = x_{f \circ g}$」を満たすとき、一意な $x \in F(U)$ が存在してすべての $f \in S$ で $F(f)(x) = x_f$ となることである。

(1) $\Rightarrow$ (2) の証明:
$F$ が $Cov$ に関して層であると仮定する。$J_F$ が 定義 3.2 の条件 (C1), (C2), (C3) を満たす割り当てであることを示す。

• (C1) の証明： $t_U$ 上の整合的族 $\{x_f\}_{f \in t_U}$ に対して、$f=id_U \in t_U$ での要素 $x_{id_U} \in F(U)$ を考えると、任意の $f \in t_U$ について $F(f)(x_{id_U}) = x_{id_U \circ f} = x_f$ となり、これが一意な貼り合わせを与える。よって $t_U \in J_F(U)$ である。
• (C2) の証明： $\{f_i\}_{i \in I} \in Cov(U)$ とし、$S = S(\{f_i\})$ とする。$S$ 上の整合的族 $\{x_f\}_{f \in S}$ をとる。各 $i$ について $f_i \in S$ であるため、$s_i = x_{f_i}$ とおく。族 $\{s_i\}$ が $Cov$ の意味で整合的族であることを示す。$f_i \circ g = f_j \circ h$ とし、これを射 $k \colon W \to U$ と置く。$S$ は右イデアルなので $k \in S$ である。整合的族の性質より、$F(g)(s_i) = F(g)(x_{f_i}) = x_{f_i \circ g} = x_k$ であり、同様に $F(h)(s_j) = x_k$ である。よって $F(g)(s_i) = F(h)(s_j)$ となる。 $F$ は $Cov$ に関する層であるから、一意な $s \in F(U)$ が存在し $F(f_i)(s) = s_i$ となる。任意の $f \in S$ は $f = f_i \circ g$ と書けるため、$F(f)(s) = F(g)(F(f_i)(s)) = F(g)(s_i) = F(g)(x_{f_i}) = x_{f_i \circ g} = x_f$ となり、$s$ は元の整合的族の貼り合わせである。一意性も同様に示される。ゆえに $S \in J_F(U)$ である。
• (C3) の証明： $S \in J_F(U)$ であり、任意の $f \in S$ について $f^\ast R \in J_F(\operatorname{dom}(f))$ であるとする。$R$ 上の整合的族 $\{x_g\}_{g \in R}$ をとる。各 $f \in S$ について、族 $\{x_{f \circ k}\}_{k \in f^\ast R}$ は $f^\ast R$ 上の整合的族となる。$f^\ast R \in J_F(\operatorname{dom}(f))$ であるから、一意な貼り合わせ $y_f \in F(\operatorname{dom}(f))$ が存在し、任意の $k \in f^\ast R$ に対して $F(k)(y_f) = x_{f \circ k}$ となる。 この $\{y_f\}_{f \in S}$ が $S$ 上の整合的族になることを示す。$f \in S$ と $m \colon Z \to \operatorname{dom}(f)$ に対して、$F(m)(y_f)$ と $y_{f \circ m}$ はともに $(f \circ m)^\ast R$ 上の整合的族 $\{x_{f \circ m \circ n}\}$ の貼り合わせとなる。$(f \circ m)^\ast R \in J_F(Z)$ であることの一意性から $F(m)(y_f) = y_{f \circ m}$ が結論づけられる。 $S \in J_F(U)$ より、$\{y_f\}$ の一意な貼り合わせ $x \in F(U)$ が存在する。この $x$ が元の $\{x_g\}$ の貼り合わせであることを確認する。任意の $g \in R$ と $w \in g^\ast S$ について、$g \circ w \in S$ である。$F(w)(F(g)(x)) = F(g \circ w)(x) = y_{g \circ w}$ である。一方、$g \in R$ より $id \in (g \circ w)^\ast R$ であり、$y_{g \circ w}$ を $id$ で引き戻すと $x_{g \circ w \circ id} = x_{g \circ w}$ となる。よって $F(w)(F(g)(x)) = x_{g \circ w} = F(w)(x_g)$ が任意の $w \in g^\ast S$ で成り立つ。ここで $J_F$ は（Grothendieck topologyの標準的な性質として）安定性 (GT2) を満たすため $g^\ast S \in J_F(\operatorname{dom}(g))$ であり、貼り合わせの一意性から $F(g)(x) = x_g$ を得る。したがって $R \in J_F(U)$ である。

以上より $J_F$ は (C1), (C2), (C3) を満たす割り当てである。$J_{Cov}$ は最小の割り当てであるから、$J_{Cov}(U) \subset J_F(U)$ がすべての $U$ で成り立つ。これは、任意の $S \in J_{Cov}(U)$ に対して $F$ が一意な貼り合わせを持つことを意味し、$F$ は $J_{Cov}$ の層である。

(2) $\Rightarrow$ (1) の証明:
$F$ が $J_{Cov}$ に関して層であると仮定する。任意の $\{f_i\} \in Cov(U)$ と整合的族 $\{s_i\}$ をとる。$J_{Cov}$ の構成規則 (C2) より、$S(\{f_i\}) \in J_{Cov}(U)$ である。 $S = S(\{f_i\})$ 上の整合的族 $\{x_f\}$ を次のように構成する。$f \in S$ は $f = f_i \circ g$ と書けるため、$x_f = F(g)(s_i)$ と定義する。 これが分解の選び方によらない well-defined な定義であることを示す。$f = f_i \circ g = f_j \circ h$ と書けたとすると、$\{s_i\}$ が定義 3.6 の意味での整合的族であるという仮定そのものから $F(g)(s_i) = F(h)(s_j)$ が得られるため、定義は well-defined である。 これが $S$ 上の整合的族になることは、$x_{f \circ k} = F(g \circ k)(s_i) = F(k)(F(g)(s_i)) = F(k)(x_f)$ から明らかである。 $F$ は $J_{Cov}$ に関する層であるから、一意な $s \in F(U)$ が存在して、すべての $f \in S$ について $F(f)(s) = x_f$ となる。特に $f_i \in S$ については $f_i = f_i \circ id$ であるから $F(f_i)(s) = x_{f_i} = F(id)(s_i) = s_i$ となる。層であるための $s$ の一意性も sieve 上での一意性からただちに導かれる。したがって、$F$ は $Cov$ の意味での層である。証明終。

証明 Grothendieck topology は以下の公理を満たします。

1. (GT1) 極大 sieve：極大 sieve $t_X$ は $J(X)$ に属する。
2. (GT2) 安定性：$R \in J(X)$ と任意の射 $f \colon Y \to X$ について、$f^\ast R \in J(Y)$ である。
3. (GT3) 推移性：$R \in J(X)$ とし、$S$ を $X$ 上の sieve とする。任意の $f \in R$ について $f^\ast S \in J(\operatorname{dom}(f))$ ならば、$S \in J(X)$ である。

仮定より $R \in J(X)$ であり、$R \subseteq S$ です。
任意の射 $f \colon Y \to X \in R$ をとります。この $f$ による $S$ の引き戻し sieve $f^\ast S$ を考えます。
引き戻し sieve の定義により、任意の射 $g \colon Z \to Y$ について、 $$g \in f^\ast S \iff f \circ g \in S$$ が成り立ちます。 ここで、$f \in R$ であり、$R$ は sieve（右イデアル）であるため、任意の $g$ に対して合成射 $f \circ g \in R$ となります。
仮定 $R \subseteq S$ より、$f \circ g \in R$ ならば $f \circ g \in S$ です。
したがって、任意の $g \colon Z \to Y$ が $f^\ast S$ に属することになります。 これは、引き戻し sieve $f^\ast S$ が $Y$ 上のすべての射を含む極大 sieve $t_Y$ に等しいことを意味します（$f^\ast S = t_Y$）。
公理 (GT1) より、$t_Y \in J(Y)$ です。
よって、任意の $f \in R$ について $f^\ast S \in J(Y)$ が成り立つことが示されました。
最後に、公理 (GT3) を適用することにより、$S \in J(X)$ が結論づけられます。証明終。